类型一 折叠成分外三角形的折叠动点问题
例1(2018·河南中考题)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．
【剖析】 当△A′EF为直角三角形时，存在两种情形：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行谈论．
【解答】 当△A′EF为直角三角形时，存在两种情形：
①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB ²＝BC ²－AC ²，∴AB＝4√3；
②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4√3或4.
方法归纳：办理这类综合问题，我们要学会由于动点进一步创造图形中的数量关系的是否具有多样性；其次要把握折叠的变革规律，充分挖掘图形的几何性子，将个中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，利用所学知识合理、有序、全面的办理问题
针对演习
1．(2018·盘锦中考题)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2√3＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．
2．(2018·乌鲁木齐中考题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2√3，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．
3．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD为等腰三角形时，AP的长为______．
类型2 折叠中有关键点的位置不愿定的问题
例2 (2016·河南中考题)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三平分点时，BE的长为________．
【剖析】 根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性子，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．
【解答】 由翻折的性子，得AB＝AB′，BE＝B′E.
方法归纳：这类不但稽核学生对基本几何图形性子的节制情形，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变革不雅观念，提高学生的实践操作水平。解题应关注这类问题解题思维模式：折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似，利用方程求解等。
针对演习
4．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若点E是BC的三平分点，则线段CH的长是_______．
5．(2018·河南仿照)如图，△ABC中，AB＝√5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好即是△BPD面积的一半，则AP的长为____________．
6．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．
类型3 图形折叠问题中的动点最值问题
例3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．
【剖析】 以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性子可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE－A′E即可求出结论．
【解答】 以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝1/2AB＝1.在Rt△BCE中，BE＝1/2AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴利用勾股定理求得CE＝√10，∴A′C的最小值＝CE－A′E＝√10－1.故答案为√10－1.
方法归纳：动点问题中要养成判断动点轨迹的意识，初中阶段常见的动点轨迹大多是直线型和弧（详细判断时，可先根据三个不同位置预测动点在直线还是圆上，再证明）；和折叠有关的动点问题中，常常会用到赞助圆，养成图中无圆，心中有圆，对准确确定点的位置进而精确解题大有帮助；
本题涉及线段最值问题，在求解一条动线段长的最值时，先弄清楚有几个动点（一端动还是两端都动），再稽核动点运动的轨迹（直线或圆）.一样平常地，有：动线段的一端为定点，另一端在定直线上运动，可归结到\"大众垂线段最短\"大众；动线段的两端分别在两定直线上运动，可转化为\公众垂线段最短\公众；动线段的一端在定圆上，另一端在定直线上运动，可归结到\"大众垂线段最短\"大众；动线段的一端为定点，另一端在定圆上运动，可归结到\"大众两点之间，线段最短\"大众；动线段的两端都在一个定圆上运动，可归结到\"大众两点之间，线段最短\"大众；动线段的两端分别在两个动圆上运动，可归结到\公众两点之间，线段最短\"大众
针对演习
7．如图，在边长为10的等边三角形△ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．
8．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB边上的点，AE＝5，点P在AD边上，将△AEP沿EP折叠，使得点A落在点A′的位置，如图，当A′与点D的间隔最短时，△A′PD的面积为________．
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D取得最小值时，tan∠BEF的值为__________．
10．(2017·河南仿照)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_________．
针对练习参考答案
1. (2√3+4)/3或√6
【解析】分两种情形：
①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2√3＋4，∴∠C＝30°，AB＝1/2AC＝√3＋2，由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝1/2DN＝1/2AN，∴BN＝1/3AB＝ (√3+2)/3，∴AN＝2BN＝ (2√3/3+4/3，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN＝(2√3+4)/3.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，由题可得∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝1/2DN＝1/2AN，BN＝√3BD，又∵AB＝√3＋2，∴AN＝2，BN＝√3，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，∴AH＝1/2AN＝1，HN＝√3，由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM＝HN＝√3，∴MN＝√6，故答案为(2√3+4)/3或√6.
2．3或14/5
【解析】∴∠C＝90°，BC＝2√3 ，AC＝2，∴tan B＝AC/BC＝2/2√3＝√3/3，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4.∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′D′E的位置，B′D交AB于点F，∴DB＝DC＝√3 ，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE＝x，则BE＝4－x，EB′＝4－x，当∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF中，cos B＝BF/BD，∴BF＝√3 cos 30°＝3/2，∴EF＝3/2－(4－x)＝x－5/2.在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF，
则4－x＝2(x－5/2)，解得x＝3，此时AE为3；
当∠FB′A＝90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如解图，∵DC＝DB′，AD＝AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝1/2B′E＝1/2(4－x)，EH＝√3B′H＝√3 /2(4－x)，在Rt△AEH中，∵EH ²＋AH ²＝AE ²，∴3/4(4－x) ²＋[1/2 (4－x)＋2] ²＝x ²，解得x＝14/5，此时AE为14/5.综上所述，AE的长为3或14/5.
3.3/2或39/16
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四边形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝1/2AA′＝3/2.②当A′C＝A′D时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴A′C/AD=DC/AC，∴A′C＝25/8，∴AA′＝8－25/8＝39/8，∴AP＝1/2AA′＝39/16，故答案为3/2或39/16.
4．4或5/2
【解析】设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，当BE∶EC＝2∶1时，BC＝9，∴CE＝1/3BC＝3.在Rt△ECH中，EH ²＝EC ²＋CH ²，即(9－x) ²＝3 ²＋x ²，解得x＝4，即CH＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE＝2/3BC＝6.在Rt△ECH中，EH ²＝EC ²＋CH ²，即(9－x) ²＝6 ²＋x ²，解得：x＝5/2，即CH＝5/2.故CH的长为4或5/2.
5．2或5－√5
【解析】分两种情形：①当点B′在AC的下方时，如解图①，∵D是BC中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝1/2S△BPD，∴S△PDF＝1/2S△PDC.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝BE/AE＝2，∵AB＝√5，
∴AE＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝2√5，∵D为BC的中点，∴BD＝√5，∴PB＝BD＝√5，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；
②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝√5，∴AP＝5－√5，综上所述，AP的长为2或5－√5.
6．8＋2√3或8－2√3
【解析】由折叠的性子得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BE/ C′E＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，
如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性子得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝2√3，∴AF＝8＋2√3；
②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2√3.∵BE＝8，∴BG＝8－2√3，∴AF＝8－2 √3.
7．5√3－5
【解析】如解图，连接BE.
∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC.
∴由勾股定理可求得BE＝5√3，.∵AC＝10，E是AC边的中点，∴AE＝5.由翻折的性子可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点B、A′、E在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE－A′E＝5√3－5.
8.40/3
【解析】连接DE，由勾股定理可求得DE＝13，∵将△AEP沿FP折叠，使得点A落在点A′的位置，∴EA′＝EA＝5，∵A′D≥DE－EA′(当且仅当A′点在DE上时，取等号)，∴当A′与点D的间隔最短时，A′点在DE上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x，则PA＝x，PD＝12－x，在Rt△DPA′中，x2＋82＝(12－x)2，解得x＝10/3，∴△A′PD的面积＝1/2×8×10/3＝40/3.
9.1/2+√5/2
【解析】在Rt△ADE中，由勾股定理可求得DE＝2√5，当B′在ED上时，B′D最小，在ED上截取EB′＝EB＝2，连接B′F，FD，则B′D＝ED－EB′＝2√5－2，设BF＝x，则B′F＝x，CF＝4－x，在Rt△B′FD和Rt△FCD中，利用勾股定理，可得DB′²＋B′F ²＝DF ²＝CF ²＋DC ²，即(2√5－2) ²＋x ²＝(4－x) ²＋4 ²，解得x＝√5＋1，∴Rt△BEF中，tan∠BEF＝BF/BE＝1/2+√5/2.
10. 12√5/5
【解析】由题意得：DF＝DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D; 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：AD ²＝AC ²＋CD ²，∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴DF/AD=DH/CD=HF/AC, 3/5=DH/3=HF/4，∴HF＝12/5，DH＝9/5，∴BH＝24/5，∴由勾股定理可求得BF＝12√5/5.
解题反思：办理这类类与运动、变革有关的问题，重在运动等分析，变革中求解。首先，要把握运动规律，寻求运动中的分外位置，在\公众动\"大众中求\公众静\"大众，在\公众静\公众中探求\"大众动\"大众的一样平常规律。其次，通过探索、归纳、猜想，得到图形在运动过程中是否保留或具有某种性子，要用运动的眼力不雅观察出各种可能的情形分类谈论，较为精确地将每种情形逐一呈现出来．如果题目比较抽象的话，可以利用纸片进行仿照演示下运动过程。再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中探求两个变量间的关系，用干系字母去形式化几何图形中的长度、点的坐标等，很多情形下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在全体解题过程中，要深刻理解分类谈论、数形结合、化归、相似等数学思想。
