极简半数折叠门_他们用折纸解决了两个数学难题还折出了天文千里镜

当我九岁的时候，我便是个折纸大师了。
我有一个叫金的朋友，她有一年从日本来英格兰拜访。
我当时向她展示了许多在英格兰可做的故意思的事情，她也教会了我许多很酷的日本元素，从日本漫画（Manga），再到制作寿司。
当然，她还教会了我折纸——有一天下午，金教会了我如何折纸鹤。
正是从那时候起，我以为自己成为了“天下上最棒的折纸大师”——不过后来又过了十五年我才意识到自己并不是，乃至于我从未靠近过成为折纸大师。

令人惊异的是，我还不是唯一一个犯过这种缺点的人。
毫无疑问的是，历史上有许多艺术家都至心相信他们已经制作了最好的、最繁芜的折纸模型。
但事实上，直到20世纪，随着打算机的兴起折纸才真正起飞。

罗伯特·朗用16张未切割的温德斯通\"大众大理石\"大众方纸块制作的异特龙骨架。
尺寸：24英寸。
图片来源感谢罗伯特·朗。

只管英文中“折纸”（origami）一词来源于日语，并常常同日本联系在一起，但是有记载的最早的折纸来源于中国。
早在公元200年旁边中国就能生产出纸张了，那时候将其用作丝绸的廉价替代品。
在中国，折纸的艺术（The art of paper folding）读作“Zhezhi ”，中国佛教僧侣在6世纪时把纸带到了日本。

由罗伯特·朗用一个未切割的正方形韩国汉吉纸制作的飞马。
尺寸：7英寸。
图片来源感谢罗伯特·朗。

折纸从此在日本生根萌芽并发扬光大。
“origami”一词本身便是两个较小的日语词汇的组合：\"大众ori\"大众，意思是折叠，和\"大众gami\"大众，意思是纸。
这项艺术是（现在仍旧是）日本儿童许多世纪以来盛行的消遣办法。

如果不是一个日本工人的涌现，折纸艺术可能还是按照传统的样式存不才去。
这位叫作吉泽章（ Akira Yoshizawa）的工人于1911年出生于一个奶田舍庭。
吉泽小的时候很喜好折纸。
而且和其他孩子一样，随着年事的增长，对付吉泽章来说折纸的魅力减弱了，他开始找到其他东西来代替折纸以消磨韶光。
但是与绝大多数孩子不同，20岁出头的吉泽章重新找到了他和这折纸的关系。
当时他在一家工厂里教低级员工几何学。
吉泽章溘然意识到，折纸实在是一种可以帮助他的学生们理解角度、线条以及形状的大略却有效的方法。

吉泽章 图片来源：网络

随着吉泽练习得越来越多，他开拓出了许多首创性的技能，比如“湿法折纸”，这种技能可以把单张纸折出更加繁芜的图案乃至曲线出来。
他的事情使得折纸重新抖擞了活气，他的这些技能使得折纸从古怪的小打小闹，变成了一门真正的艺术形式。
随着越来越繁芜的折纸图案被设计出来，这项艺术开始吸引了数学家的把稳，而他们的想法和吉泽不谋而合——折纸与几何学之间有着巨大的交叉联系。
折纸的数学研究终极演化成理解决两个问题的新方法。
而这两个问题来源于不同的文化，根植于不同的大洲，已经有了很多年的历史。

亚历山大的欧几里得是一位2000年前的希腊数学家，常日我们称之为“几何学之父”。
欧几里得的作品《几何原来》是数学史上最成功的教科书，也是已知最早系统性谈论几何学领域的书。

欧几里得知道，只用无刻度的直尺和圆规就可以完成大量的几何操作，比如画出五边形、六边形还有圆。
这一点在当时也是众所周知的，以是欧几里得能完成这些也并非非比平凡。

但是，欧几里得的首创性事情在于，他采取了系统性的方法来研究几何问题。
《几何原来》中的每一个几何构造和数学结果都是从一组五个假设出发分步推导出来的，个中也包括了利用尺规可能进行的操作：

用汉吉纸、线和木头制作的蜂鸟和凌霄花。
尺寸：15英寸。
图片来源感谢罗伯特·朗

这些假设，被称为欧几里得公理，它们彷佛是显而易见的。
事实上欧几里得自己也认为，它们是如此明显，这本身是不言而喻的。
但是这些公理的俏丽之处在于，它们可以用来布局出各种定理的几何证明，而这些证明本身比这几条公理要繁芜的多。

但是欧几里得公理本身也有局限性。
古代有最著名的两个问题，一个是三平分角问题（将给定角度分成三个相等的部分）和立方体的倍增问题（布局一个立方体，其体积恰好是给定立方体的两倍）。
据传说，古代德洛斯的市民就面临着后一个问题，当时德尔福的预言家建议他们更加他们的祭坛体积，以避免瘟疫。
然而，事实证明，仅利用欧几里得的尺规作图法是不可能办理这个问题的。
三平分角也是无法用尺规作图办理的。

但实际上，这两个问题都可以用折纸来办理！
因此，我们仿佛看到了一种惊人的可能性——折纸几何比欧几里得几何更强大。

正如欧几里德为平面几何设计了公理一样，当代数学家藤田文章（Humiaki Huzita）和羽鸟公士郎（Koshiro Hatori）设计了一套完全的公理来描述折纸几何学——Huzita-Hatori公理。

公理1：给定两个点 和 ，存在唯一一个的折叠，同时经由这两个点。

公理2：给定两点 和，存在唯一一个折叠，使得两点重合。

公理3：给定两条线 和 ，存在一个折叠，使得两条线重合。

公理4：给定一个点 和一条线 ，存在唯一的折叠，它垂直于并通过点 。

公理5：给定两个点 、和一条线 ，存在一个折叠，它经由 ，并使得 落在 上。

公理6：给定两个点 和两条线 ，，存在一个折叠，可以使 落在 上，同时 落在 上。

公理7：给定一点 和两条线 、，存在一个折叠， 它垂直于 ，并且使得 落在 上。

折纸几何里面第七个公理是处理三平分角问题和立方体倍增问题的关键。
下面我们从角度布局开始。
按照下面的步骤，我们将会看到如何通过大略的公理，通过一系列折叠来完成欧几里得公理无法完成的操作。
（图表来源感谢罗伯特·朗）

绘制所需的角度PBC，B在纸张的一角。
在任意位置进行水平折叠，定义出线EF将线BC折叠到线EF再展开，形成线GH将左下角向上折叠，使得点E落在线BP上，点B落在线GH上

大家可以自己想一下个中的技能性事理。
如果你仍有疑问的话，这里给出一种证明。
（此方法适用于任何小于90°的角度，对付更大的角度还有其他方法）

给定一个棱长 体积 V 的立方体。
你的任务是找到使得体积变成2V 时的正方体的棱长 。
下面我们看看如何通过折纸来做到这一点。
（图片来源感谢罗伯特·朗）

沿纸张的右侧边的一半位置做一个小折。

做连接AC的折痕和连接BE的折痕，交叉点位置要折得锐利一点。

把上边AD往下折叠，使得刚刚得到的交叉点落在AD上，再把下边BC往上折，使得BC与新的折痕重合，然后展开。
把角C折到AB上，此时点I落在FG上。
点C把边AB分成两段，算一下AC/CB的比值，把它乘以原始正方体的棱长， 结果便是你在探求的棱长 。

如果你对此有疑问的话，这里给出一个关于个中技能细节的证明。

那么折纸是若何拥有理解决这两个经典问题的能力的呢？答案在于这两个问题都可以归结为求解一个立方方程。
在立方体的情形下，你要找到棱长 ，使得

这里V 是给定立方体的体积。
由于 （这里 是给定立方体的棱长），我们有

也便是说

既然你知道了，那事实上只要找到 就可以了。
这便是我们在上面的布局中创造的数字。

通过三角学可以把任意角度 三平分：写作 ，再利用三角公式（写成两个角的余弦形式），我们有

由于

再加上

把它们带入上面的等式

解出这个立方方程，就给出了 的可能值，再从中可以解出 。

事实证明，折纸不仅可以求解上述两个问题所对应的两个立方方程，而且可以求解任何立方方程，即下面这个形式：

a,b,c,d对应某些值（你可以在这里看到这个方程的解法）。
而欧几里得只能通过尺规作图方法求解二次方程，不能求解立方方程。

当代数学折纸的先驱者之一是美国数学家和折纸艺术家罗伯特·朗。

1989年，朗为《工程与科学》杂志写了一篇文章，个中他指出一个问题：“打算机是否有一天能设计出一种被认为优于人类设计的折纸模型？”他对这个问题非常感兴趣，在1990年他开始编写一个可以做到这一点的打算机程序。

从左起：由TreeMaker天生的图案、天生的基和成品模型。
图片来源感谢罗伯特J.朗。

在几个月内，朗制作了一个他称之为Treemaker的软件的第一个版本（之以是这样称呼，是由于作为出发点的图类似于树木）。
该程序能够将大略的线条图或简笔画转换为纸基的操持，从中可以折叠出模型。

在本文中，基是指一个几何形状，它里面包含了对应于折纸模型的所有附属物的襟翼（一种活动面）。
这样一来，一只有两个翅膀、一条尾巴和一个头的鹤可以由一个有四个襟翼的基形成，而一只六条腿、一个头、一个腹部的昆虫可以由一个有八个襟翼的基形成。

用未切割的泰式 unryu 纸矩形制作的响尾蛇。
尺寸：8英寸。
图片来源感谢罗伯特•朗。

起初，用朗自己的话说，TreeMaker\"大众只是始于数学上的好奇心\"大众。
然而，在接下来的八年里，随着朗折半痕图案的理解不断增加，他为程序添加了算法。
到1998年，TreeMaker能够为各种各样的折纸的基构建出完全的折痕图案。

如今，朗收藏了数千件折纸雕塑。
虽然不是所有的这些都是在Treemaker的帮助下完成的，但如果没有它，朗最繁芜的一些设计是不可能完成的。
这篇文章中，就有许多他创作的图案。

虽然朗和其他人的一些设计确实令人震荡，但人们很随意马虎将折纸视为大略的艺术：俏丽，但在现实天下中没有运用。
因此，从太空望远镜到汽车安全气囊，折纸技能正被运用——这多少有些出人意料。

用一张未切割的韩国汉吉纸折叠成的爱尔兰鹿。
尺寸：9英寸。
图片来源感谢罗伯特·朗。

自从1990年哈勃望远镜由创造号航天飞机送入轨道以来，太空科学家一贯致力于开拓它终极的下一代替代品。
加州劳伦斯利弗莫尔国家实验室的衍射光学组的罗德里克·海德（Roderick Hyde）提出了建造比哈勃望远镜大四十倍的望远镜的想法。
哈勃望远镜本身就不小，长13米，孔径2.4米。
海德发起的望远镜的光圈将近100米，长数百米。
这立即带来了一个后续问题：纵然可以设计这种东西，它如何进入轨道？

当研究职员意识到有可能制造出一个可折叠的透镜并装进航天飞机时，答案就呼之欲出了。
我们可以通过将两个透镜置于轨道中，来使望远镜的两端之间保持适当的间隔。
而在这个位置由于失落重的缘故，这两个透镜可以勾留在轨道上。
实验室立即看到了这与折纸之间的关联，他们联系了罗伯特·朗，想搜聚他的专家见地。

在接下来的一年里，在朗的帮助下，实验室团队建造了一个直径为5米的名为“眼镜”的原型。
哈勃望远镜的下一代，于2013年发射的詹姆斯·韦伯太空望远镜上确实有一壁镜子，可以像折纸一样折叠后放入火箭中。

詹姆斯·韦伯望远镜 图片来源：网络

对付离居家生活更近的运用，汽车安全气囊的发展为我们供应了如何利用折纸的另一个例子。
在碰撞过程中，安全气囊在充气之前是被牢牢地折叠到方向盘或仪表板内的隔间中的。
设计安全气囊的工程师首先对打算机上的膨胀过程进行建模。
为了做到这一点，他们须要一个算法来\"大众折叠\"大众完备膨胀的安全气囊。

利用打算机程序Treemaker，朗能够为来自德国EASi工程公司的工程师供应他们的折叠问题的办理方案。
这本色上是将安全气囊表示为一系列的多边形，其边缘在折叠期间和折叠之后要保持对齐——这项任务可以通过详细的折叠模式实现，就像朗用于折纸模型一样。

对付一个像纸本身一样古老的艺术来说，折纸花了很长的韶光才展现出它的潜力。
本日，人们从折纸上找到了数以百计的运用，从帮助建立自组装机器人，再到为探求人体内的蛋白质如何折叠成精确的三维形状供应线索。
伴随着打算机的出身，人们花了近两千年的韶光才意识到有多少是可能的，而朗的创作证明了我们迄今为止可以走多远。

用一个未切割的方纸做的螳螂。
尺寸：4英寸。
图片来源感谢罗伯特·朗。

正如开头所说，我九岁的时候还抱负着自己是个折纸大师，抱负着自己已经凭借一只纸鹤征服了折纸的天下。
而折纸艺术的这些令人难以置信的运用，已经给我的九岁时的抱负画上了句号。

然而对付折纸的新手们而言，当他们创造自己能够用一张纸折叠几下就制作出如此优雅大略的形式，无疑每个人都会以为自己真的是个大师。
以是连续试试吧，我敢担保你也会像我一样被迷住的。

福

利

时

间